日の出・日の入りの時刻の求め方（計算式と計算例・誤差の話）

日の出・日の入りの時刻は、太陽の位置を表す二つの値（赤緯と均時差）が分かれば、三角関数を使った式で計算できます。このページでは、このサイトが使っている計算方法（米国海洋大気庁 NOAA の式。もとは Jean Meeus『Astronomical Algorithms』）を、東京（新宿区）の2027年の夏至（2027年6月21日(月)）を例に、途中の数字をすべて示しながら説明します。

手順は、①その日の太陽の赤緯 δ と均時差 E を求める、②日の出・日の入りのときの時角 H を cos H ＝（cos 90.833° − sin φ sin δ）÷（cos φ cos δ）で求める、③南中時刻 ＝ 12 時 −（経度 − 135°）× 4 分 − E、日の出 ＝ 南中 − 4H 分、日の入り ＝ 南中 ＋ 4H 分、の三段階です。

使う記号

• φ（ファイ）: 観測地の緯度。東京（新宿区）は北緯 35.6939°
• λ（ラムダ）: 観測地の経度。東経 139.7036°
• δ（デルタ）: 太陽の赤緯。太陽が天の赤道からどれだけ北にいるか（夏至でおよそ ＋23.4°）
• E: 均時差。実際の太陽の南中が、平均的な太陽より何分早いか
• H: 時角。太陽が南中してから日の入りまでに空を回る角度（日の出は南中の前の同じ角度）

ステップ 1: 太陽の赤緯と均時差を求める

まず、計算したい時刻を、2000 年 1 月 1 日 12 時（世界時）から何世紀たったか（T）で表します。夏至の日の正午ごろの値で T ＝ 0.27466768 です。そこから次の順に太陽の位置を求めます。

• 平均黄経 L0 ＝ 280.46646° ＋ 36000.76983°×T ＋ … ＝ 88.7143°
• 平均近点角 M ＝ 357.52911° ＋ 35999.05029°×T − … ＝ 165.3046°（360° の倍数を除いた値）
• 中心差 C（公転の軌道が楕円であることによる補正）＝ 0.4758°
• 太陽の視黄経 λ☉ ＝ L0 ＋ C −（光行差と章動の補正）＝ 89.1879°
• 黄道傾斜角 ε ＝ 23.4375°
• 赤緯 δ ＝ arcsin（sin ε × sin λ☉）＝ 23.4350°
• 均時差 E ＝ -1.61 分

夏至は太陽の視黄経が 90° になる日なので、λ☉ がほぼ 90°、赤緯 δ が黄道傾斜角とほぼ同じ値になっていることが分かります。冬至（2027年12月22日(水)）で同じ計算をすると、δ ＝ -23.4365°、E ＝ 1.93 分です。

ステップ 2: 時角を求める

日の出・日の入りは、太陽の中心が地平線の下 0.833° にある瞬間です（太陽の見かけの半径と大気差の合計。定義の説明）。天頂からの角度でいえば 90.833° です。このときの時角 H は、球面三角法の式

cos H ＝（cos 90.833° − sin φ × sin δ）÷（cos φ × cos δ）

で求められます。東京の夏至の値を入れると cos H ＝ -0.33092、H ＝ 109.3244° です。地球は 1 度回るのに 4 分かかるので、南中から日の入りまでは 4×H ＝ 437.3 分、つまり約 7 時間 17 分になります。昼の長さはその 2 倍です。

ステップ 3: 南中・日の出・日の入りの時刻

南中時刻（日本標準時）は、12 時から、経度が東経 135° からどれだけ東にあるかの分（1° あたり 4 分）と、均時差 E を引いて求めます。

南中 ＝ 12:00 −（139.7036 − 135）× 4 分 − -1.61 分 ＝ 11:43（702.8 分）

日の出は南中から 4H 分前、日の入りは 4H 分後です。

日の出 ＝ 702.8 − 437.3 ＝ 265.5 分 → 4:25　日の入り ＝ 702.8 ＋ 437.3 ＝ 1140.1 分 → 19:00

精度を上げるための繰り返し

ステップ 1 では正午の太陽の位置を使いましたが、太陽の赤緯と均時差は一日のうちにも少しずつ変わります。そこで、求めた日の出の時刻での太陽の位置を計算し直し、もう一度ステップ 2・3 を行います。これを数回くり返すと値が落ち着きます。このサイトでは 3 回くり返した値を使っていて、東京の2027年の夏至は日の出 4:25・日の入り 19:00 です。夏至のころは赤緯の変化がゆるやかなので、1 回目の概算（日の出 4:25・日の入り 19:00）とほとんど変わりませんが、春分のころは赤緯が一日に約 0.40° 動くので、繰り返しの効果が大きくなります。

簡単にした式ではどれだけずれる？

手計算や表計算ソフトで手軽に求めるために、式を簡単にすることがあります。その場合のずれを東京の2027年の夏至で確かめると、次のようになります。

• 均時差 E を省いて南中を 12 時 − 経度の差 とすると、日の出は 4:24（-2 分）。均時差は2027年の中で -14.2 分から +16.5 分まで変わるので、季節によっては最大で 16 分ほどずれます
• 大気差と太陽の大きさを省いて天頂角 90° で計算すると、日の出は 4:30（+5 分）

日の出・日の入りを分単位で正しく出すには、均時差と、0.833° の基準の両方が欠かせません。

計算を確かめる方法

自分で計算した日の出・日の入りの時刻が正しいかどうかは、国立天文台の「こよみの計算」で同じ場所・同じ日付の値を調べて比べると確かめられます。差が 1〜2 分なら、丸め方や式の細かな違いによるものです。数分以上ずれる場合は、経度の符号（東経はプラス）、角度の度とラジアンの取り違え、日本標準時と世界時の 9 時間の差などを見直してみてください。

計算の限界と国立天文台との差

この式で求めた値を、国立天文台の「各地のこよみ」と 47 都道府県の代表地点・2026 年 11 月の毎日で照合すると、差はすべて 1 分以内でした。残る差は秒の端数の丸めによるものです。

一方で、計算上の時刻と実際に太陽が見える時刻の差は、計算の誤差よりも、大気の状態（気温や気圧による大気差の変化）や、地平線の見え方（山・建物・標高）のほうが大きく効きます。計算は「標高 0 m の平らな地平線」という条件での正確な値で、実際の見え方は場所ごとに考える必要があります（標高と日の出）。

途中の値は、このサイトの計算プログラムと同じ式で求めたものです（小数点以下は表示の都合で丸めています）。式の詳細は NOAA の Solar Calculation Details に表計算の形で公開されています。

よくある質問

出典・参考にした資料

• NOAA Global Monitoring Laboratory「Solar Calculation Details」
• 国立天文台 暦計算室「各地のこよみ」
• 国立天文台 暦計算室「こよみの計算」

本文の数字は、このサイトの計算値をプログラムで差し込んだものです（更新日 2026-10-15）。数字の作り方と照合の手順は編集方針にまとめています。